Derivadas

El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado
el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. También en las ciencias sociales como la Economía y la Sociología se utiliza el análisis matemático para explicar la rapidez de cambio en las magnitudes que les son propias.
Conocer la variación de una función en un intervalo grande no informa suficientemente bien en el sentido de entender como se produce dicha variación. Se necesita estudiar variaciones de la función en intervalos cada vez más pequeños para llegar a entender el concepto de variación instantánea o referida a un punto, es decir el de derivada en un punto.
Un hallazgo importante en el estudio de la derivada de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto.
El concepto de derivada segunda de una función - derivada de la derivada de una función- también se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene, aumenta o disminuye. Así el concepto de convexidad y concavidad -aspectos geométricos o de forma- de una función están relacionados con el valor de la derivada segunda.
La derivabilidad de una función en un punto (propiedad relativa a la existencia de tangente en un punto) está asociado al de continuidad. Este aspecto también será tratado en esta unidad.
Finalmente veremos la relación que tiene la derivada con los problemas de optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de mínimo (máximo rendimiento, mínimo coste, máximo benefício, mínima aceleración, mínima distancia, etc).
A lo largo de este post, intentaremos demostrar como calcular todo tipo de derivadas.

Incremento de una función:
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a+h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media:
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo [a, b] al cociente entre los incremen tos de la función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] =

Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x² en el intervalo [0,2]
Solución:
T.V.M. [0, 2] =

Tasa de variación instantánea. La derivada

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo). La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería:
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por f ' (a), por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.

Observación 1
Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a, también puede expresarse así:


Observación 2.
También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f ’- (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable.


Proposición.
Toda función derivable en un punto es continua en dicho punto. El recíproco es falso.

Aplicación física de la derivada:
La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.

Interpretación geométrica de la derivada:
La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a+h. Si h tiende a cero, el punto a+h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a))
La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar:

Interpretación geométrica de la derivada:

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.


La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f '(a)

Ejemplos

Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f '(a) = 1.
Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b²x³ + bx² + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.
Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.
f '(1) = f '(2)
f '(x) = 3b²x² + 2bx + 3
f '(1) = 3b² + 2b + 3
f '(2) = 12b² + 4b + 3
3b² + 2b + 3 = 12b² + 4b + 3
9b² + 2b = 0
b = 0 b = −2/9

Interpretación física de la derivada

Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).



Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.



Ejemplo

La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t². Calcular:

1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].


2 La velocidad instantánea en t = 1.

La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t² en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.


Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 1000t² , siendo t el tiempo metido en horas. Se pide:

1. La velocidad media de crecimiento.


2. La velocidad instantánea de crecimiento.


3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t0 = 10 horas.

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f '(x).




Derivada de las funciones a trozos
En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.



Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.

Derivada en un punto

La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.



Derivadas laterales
Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.